▷ Metodo de gauss jordan ejemplos | Actualizado marzo 2023

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En matemáticas, la eliminación de Gauss, también conocida como reducción de filas, es un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en una secuencia de operaciones realizadas sobre la matriz de coeficientes correspondiente. Este método también puede utilizarse para calcular el rango de una matriz, el determinante de una matriz cuadrada y la inversa de una matriz invertible. El método lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss (1777-1855), aunque algunos casos especiales del método -aunque presentados sin pruebas- ya eran conocidos por los matemáticos chinos hacia el año 179 de la era cristiana.
Para realizar la reducción de filas en una matriz, se utiliza una secuencia de operaciones elementales de filas para modificar la matriz hasta que la esquina inferior izquierda de la matriz se llene de ceros, en la medida de lo posible. Hay tres tipos de operaciones elementales de fila:
Utilizando estas operaciones, una matriz siempre puede transformarse en una matriz triangular superior, y de hecho en una que esté en forma escalonada. Una vez que todos los coeficientes principales (la entrada más a la izquierda que no es cero en cada fila) son 1, y cada columna que contiene un coeficiente principal tiene ceros en otra parte, se dice que la matriz está en forma escalonada reducida. Esta forma final es única; en otras palabras, es independiente de la secuencia de operaciones de fila utilizadas. Por ejemplo, en la siguiente secuencia de operaciones de fila (en la que se realizan dos operaciones elementales en filas diferentes en el primer y tercer paso), las matrices tercera y cuarta son las que están en forma escalonada, y la matriz final es la única forma escalonada reducida.

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Es importante destacar que las matrices con una fila o una columna pueden interpretarse como vectores. La multiplicación de matrices con un vector puede interpretarse de dos maneras. La imagen de la fila interpreta la salida como un producto punto, la imagen de la columna interpreta la salida como una combinación lineal.
En el ejemplo anterior, fijamos b = (0,3). Pero esta combinación lineal podría generar cualquier vector b. En general, las combinaciones lineales pueden generar la totalidad de un espacio (en este caso, un plano bidimensional).
En ambos puntos de vista, decimos que A transforma x → b. Si los vectores son grupos de datos, las matrices son funciones que operan sobre los vectores. En concreto, la multiplicación por una matriz A ∈ ℝm x n la llamaremos transformación lineal, que convierte una n-tupla en una m-tupla TA : ℝn → ℝm.
La simetría entre las funciones y las transformaciones lineales es profunda. Cuando exploremos la teoría de las categorías, descubriremos la estructura que subyace a esta relación. Pero mientras tanto, considera las siguientes equivalencias:
La noción de matriz inversa es especialmente importante para las funciones matriciales. Así como f-1(x) = ln(x) deshace los efectos de f(x) = ex, la matriz inversa A-1 deshace los efectos de A. El efecto acumulativo de aplicar A-1 después de A es la matriz identidad A-1A = 1. La matriz identidad es análoga a multiplicar por uno, o añadir cero: es algebraicamente inerte.

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La eliminación de Gauss-Jordan es un algoritmo que puede utilizarse para resolver sistemas de ecuaciones lineales y para encontrar la inversa de cualquier matriz invertible. Se basa en tres operaciones elementales de fila que se pueden utilizar en una matriz:
El propósito de la Eliminación de Gauss-Jordan es utilizar las tres operaciones elementales de fila para convertir una matriz en forma escalonada de fila reducida. Una matriz está en forma escalonada reducida, también conocida como forma canónica de filas, si se cumplen las siguientes condiciones:
\A = Inicio de la matriz 1 y 0 y 0 0 y 1 y 3 0 y 0 y 0 y 0 fin, B = inicio de la matriz 1 y 0 y 0. 0 y 1 y 0. 0 y 0 y 1. Fin. 0 y 7 y 3 1 y 0 y 0 0 y 0 y 0 y 0 fin. 1 y 7 y 3 0 y 1 y 0 0 y 0 y 1. \] Las matrices A y B están en forma escalonada de fila reducida, pero las matrices C y D no lo están. C no está en forma escalonada reducida porque viola las condiciones dos y tres. D no está en forma escalonada reducida porque incumple la condición cuatro. Además, se pueden utilizar las operaciones elementales de fila para reducir la matriz D a la matriz B.